Історія виникнення і розвитку кватерніонів та їх застосувань

Ірландський математик У. Гамільтон в 1833–35 рр. розробив арифметичну теорію комплексних чисел. В цій теорії він розглядав комплексні числа a+bi як пари (a,b) дійсних чисел з певним чином означеними для них операціями додавання і множення. Цей підхід був використаний при побудові моделі аксіоматичної теорії комплексних чисел.

         Як тільки У.Гамільтон зрозумів, що уявні числа – це всього лише впорядковані пари дійсних чисел, для яких певним чином введені арифметичні операції, він задумався над тим, як побудувати систему нових чисел, які б представляли собою впорядковані трійки дійсних чисел. Яким чином краще всього ввести для них арифметичні дії? Подібно тому, як для комплексних чисел зручний запис виду а + bi, де і – уявна одиниця, для нових чисел, – розмірковував Гамільтон, – підійде запис a + bi + cj, де i і j – 2 різні уявні одиниці. І навіть виразна назва для таких чисел сама собою напросилася: триплети: («триплет» в перекладі з латинської означає «трійка»). В тому, що теорію триплетів буде неважко побудувати, Гамільтон не сумнівався, і тому статтю, посвячену започаткуванню комплексних чисел (1837 р.), без сумнівів, закінчив анонсом, що згодом опублікує теорію триплетів. І дійсно, почати цю теорію було йому легко. Він ввів поняття рівності двох триплетів, їх суми і різниці. Все тут заключалось в слові покомпонентно…

Але що назвати добутком 2 триплетів? Гамільтон шукав для нової системи чисел таке правило множення, щоб збереглись закономірності арифметики – ті самі, які добре відомі для раціональних чисел, для дійсних чисел і навіть для комплексних чисел. Звичайно, хотілося, щоб для нових чисел збереглися асоціативний (сполучний) закон – не тільки для схеми, але і для множення: , дистрибутивний (розподільчий) закон множення відносно суми  і комутативний (переставний) закон як для суми , так і для множення . На перше місце Гамільтон ставив таку властивість: Якщо , то рівняння  повинно мати, і притому – єдиний, розв’язок». У випадку, якщо добуток двох чисел  і  рівні нулю ( ), причому , то число  повинно перетворитись в нуль.

От і тут виникли у Гамільтона непередбачені труднощі: який би спосіб множення триплетів він не підбирав, завжди знаходились такі пари ненульових триплетів, які в добутки давали нуль: , , але . Гамільтон перебрав десятки варіантів множення, але підібрати спосіб множення, що не має вказаного недостатка, йому так і не вдалося (пізніше було доказано, що такого способу множення триплетів не існує). Роки йшли, а нічого не змінювалось.

Але все-таки вихід був знайдений. Восени 1834 р. Гамільтона осінила думка: потрібно розглядати числову систему не з трьома, а з чотирма (!) одиницями (одна дійсна і три уявних)!.

Мова йде про вирази виду a + bi + cj + dk, (1) де i, j, k – уявні одиниці. Задати такий вираз – це те ж саме, що задати четвірку дійсних чисел a, b, c, d, розміщених в указаному порядку. Числа виду (1) Гамільтон назвав кватерніонами (від латинського слова quaterni, що означає «по чотири»). Гамільтон тоді ж запропонував наступне правило множення уявних одиниць:

.

Суть свого відкриття Гамільтон виложив в 1844 р. у невеликій статті «Про кватерніони або про нову систему уявних в алгебрі» (про це ж він розказував ще раніше, в листопаді 1843 р., на засіданні Ірландської академії наук).

Після відкриття кватерніонів Гамільтон зайнявся систематичним вивченням їх властивостей і застосувань. В 1845 р. він відмовився від посади президента Ірландської академії наук, щоб цілком посвятити себе вивченню кватерніонів. Протягом двох десятиліть він публікує 109 наукових робіт, посвячених кватерніонам, в тому числі дві фундаментальні монографії «Лекції про кватерніони» і «Елементи теорії кватерніонів».

        Пізніше англійський математик А.Келі, відмовившись від асоціативності множення, побудував узагальнення кватерніонів – октави (від латинського octo – “вісім”) або числа Келі, що являють собою вісімки дійсних чисел. Хоч при цьому від деяких властивостей поля прийшлось відмовитись, в алгебрі кватерніонів і в алгебрі октав залишається справедливою основна властивість поля – для кожного ненульового елемента існує обернений елемент .

        Отже, якщо ми хочемо побудувати більш широку, ніж поле комплексних чисел, систему, властивості якої були б аналогічними властивостям числових множин, нам потрібно відмовитися від деяких властивостей поля. Як випливає з теореми німецького математика  Г.Фробеніуса, яку він довів  в 1878 р.,  поле С  комплексних  чисел є максимальним числовим полем.

Відкриття кватерніонів справило велике враження на математиків минулого століття. Відомий французький фізик і математик А.Пуанкаре (1854 – 1912) писав: «Це була революція в арифметиці, подібна тій, яку здійснив Лобачевский в геометрії».

Теорія кватерніонів захопила багатьох математиків. Тільки в ХІХ ст. було видано близько 600 наукових робіт, посвячених кватерніонам. В цих роботах кватерніони успішно застосовуються для вирішення різних задач з фізики, геометрії, теорії чисел. У ряді університетів викладання кватерніонів стало обов’язковим, з ними знайомили учнів в багатьох середніх школах. У 1895 р. була організована Міжнародна асоціація сприяння вивченню кватерніонів і родових систем.

Більше застосування знаходить зараз векторне числення, яке виникло на базі числення кватерніонів. Вектори були введені Гамільтоном як кватерніони спеціального виду. Винайдення числення кватерніонів послугувало імпульсом для створення ряду важливих розділів сучасної математики, в тому числі теорії матриць, багатовимірної геометрії та ін. Кватерніони і запропоновані пізніше схожі з ними числові системи успішно використовуються в теорії чисел, в геометрії, в механіці і теоретичній фізиці.

Саме в кватерніонах дав англійський фізик  Дж.К.Максвелл (1831 – 1879) компактний запис своїх знаменитих рівнянь, які стали основою теорії електромагнетизму. Вже в останні десятиліття стало ясно, що числення кватерніонів представляє собою особливо зручний математичний апарат для спеціальної теорії відносності.

Радянський математик Б.О.Венков застосовував кватерніони в арифметиці бінарних квадратних форм.