Множення кватерніонів

Кватерніонами називаються числа виду a + bi + cj + dk, (2.1) із законом суми  і своєрідним законом множення. Щоб описати цей закон, достатньо вказати, чому дорівнюють всеможливі n добутку чисел i, j, k. Положимо, що

                                                       (2.2)

Запам’ятати цю «таблицю множення» допомагає рис. 2.1, на якому кватерніони i, j, k зображені трьома точками окружності, розміщених по направленню руху годинникової стрілки. Добуток будь-яких двох чисел із трійки i, j, k дорівнює третьому, якщо рух від першого множника до другого відбувається за годинниковою стрілкою і дорівнює третьому зі знаком мінус, якщо рух відбувається проти годинникової стрілки. Як бачимо, переставна властивість множення тут не виконується: добуток залежить від порядку множників!

Рис. 2. 1.

Множення довільних кватерніонів відбувається за допомогою наведеної вище таблиці і, враховуючи вимоги 1) – 3). Нехай

За правилом множення суми на суми маємо

Ми отримали суму 16 доданків. Перетворюючи кожне із них за допомогою вимог 1), 2) і таблиці множення (наприклад, , приходимо до результату:

                      (2.3)

Хоча множення кватерніонів не підпорядковується переставному закону, все ж різниці з кватерніонами не такі складні, як може здатися з першого погляду. Справа в тому, що для множення кватерніонів виконується сполучний закон:

                                                                 (2.4)

Перевіримо справедливість цієї рівності.

Оскільки кожний кватерніон  представляє собою суму чотирьох доданків ( ), то ліва частина (2.4) дорівнює сумі  доданків виду

,                                                                                   (2.5)

де будь-який із чотирьох доданків кватерніона  – будь-який із доданків для  – будь-який доданок для . Аналогічно, права частина (2.4) дорівнює сумі 64 відповідних доданків:

.                                                                                 (2.6)

Тому, якщо ми доведемо, що кожний доданок (2.5) дорівнює відповідному доданку (2.6), то цим рівність (2.4) буде доведена.

І так, все зводиться до перевірки рівності (2.4), коли в якості  фігурують (в будь-якій комбінації) кватерніони виду . При цьому, так як числовий множник можна виносити за знак добутку, то рівність (2.4) достатньо перевірити для випадків, коли  – це будь-які із кватерніонів 1, i, j, k; наприклад, замість

достатньо довести

В тих випадках, коли один із кватерніонів  дорівнює 1, рівність (2.4) очевидна. Тому задача зводиться до перевірки цієї рівності для випадків, коли  – будь-які із кватерніонів i, j, k.

Всього, таким чином, потрібно перевірити 27 рівностей. Випишемо для прикладу деякі з них:

.

Справедливість кожної із 27 рівностей легко слідує із таблиці множення (2.2).

Отже, множення кватерніонів має сполучну властивість.

По аналогії з комплексними числами введемо таке визначення.

Нехай даний кватерніон

Спряженим йому називається кватерніон

                                                                (2.7)

Очевидно, що сума спряжених кватеріонів є число дійсне. Але і добуток  також являється дійсним числом, що одразу ж слідує із формули (2.3) для множення:

.                       (2.8)

Продовжуючи аналогію з комплексними числами, назвемо число

модулем кватерніона  і домовимося позначати його . Тоді остання рівність перепишеться так:

.

Наприклад, для кватерніона  маємо:

Зауваження. Якщо  «чисто уявний» кватерніон,

то із формули (2.8) слідує

Навпаки, якщо квадрат деякого кватерніона є дійсне число, менше чи рівне нулю, то цей кватерніон – чисто уявний. Таким чином, кватерніони  і тільки вони можуть бути охарактеризовані умовою, що їх квадрати представляють собою дійсні числа . Враховуючи це, можна дати другий опис операції спряження: для довільного кватерніона  береться єдине представлення у вигляді , де  – кватерніон, квадрат якого є дійсне число , тоді .

Безпосередня перевірка показує, що операція спряження має такі властивості:

                                                                        (2.9)

(спряжене до суми дорівнює сумі спряжених) і

                                                                              (2.10)

(спряжене до добутку дорівнює добутку спряжених, взятих в протилежному порядку). Також рівності справедливі і у випадку комплексних чисел; треба тільки пам’ятати, що для комплексних чисел замість  можна написати  (бо добуток не залежить від порядку множників), в той час як для кватерніонів, взагалі кажучи,  не дорівнює .

Щоб переконатися у справедливості рівності (2.10) достатньо перевірити її для кожного із випадків, коли замість  і  беруться i, j, k. Наприклад,

, але і ,

, але і

і т.д.

Модуль добутку. Ще одна важлива властивість кватерніонів говорить, що модуль добутку двох кватерніонів дорівнює добутку модулів множників.